[미적분학오딧세이] 미분, 적분 어렵지 않아요!

미분, 적분 어렵지 않아요!

 

미적분학을 그 탄생 배경과 물리적 의미를 통해 모두가 쉽게 이해할 수 있도록 정리해 보고 싶다.

이런 마음이 싹트게 된 것은 [17세기 자연학] 세미나를 참여하면서부터이다. 세미나 책을 읽어가면서 근대 과학혁명의 태동을 목격하게 되었고, 수학으로 자연의 모든 법칙을 설명할 수 있는 역학의 3대 법칙을 발명하고 과학혁명의 정점을 찍게 되는 뉴턴을 알게 되었다. 세미나를 하면서 부차적으로 알게 된 사실이지만, 더 관심이 가고 흥미로웠던 것은 바로 미적분 탄생에 관한 이야기였다.

 

과학적 발명 혹은 발견에 있어서 두 번째는 기억되지 않는다. 백열전등을 두 번째로 발명한 사람 혹은 라이트 형제 이후로 동력 비행을 두 번째로 성공한 사람을 알고 있는가? 물론, 모를 것이다. 당연하겠지만, 발명과 발견에 있어서 2번째는 무의미한 경우가 많다. 하지만, 신기하게도 미적분 발명에 있어서는 항상 뉴턴과 라이프니츠 모두를 언급하고 있다. 시기적으로 분명 뉴턴이 앞선 것으로 여겨지지만, 아이러니하게도 현재 우리가 사용하는 미분의 표기는 라이프니츠의 그것을 사용하고 있다. 뉴턴이 먼저 발명했다고 하면 왜 구태여 라이프니츠를 언급하는 것일까, 그리고 표기법은 왜 라이프니츠의 그것을 사용하는 걸까? 여기까지만 해도 흥미로운데, 시대를 넘어서는 두 천재는 아쉽고 창피하게도 누가 먼저 미분을 발명했는가에 대해 과학사에서 가장 명예롭지 못한 지저분한 싸움을 하게 된다. 이 다툼의 결과로 뉴턴을 지지했던 영국은 유럽과 갈라져서 수학의 발전이 늦어지게 되었다고 하니 그 여파가 상당히 컸던 것 같다.

 

미분과 달리 적분의 개념은 이집트 시대로까지 거슬러 올라가게 된다. 적분을 간단히 정의해 본다면 잘게 나눈 것을 합하는 것이다. 기원전 이집트 시대에서는 홍수가 많이 발생하여 재산의 문제를 명확히 하기 위해서 정확한 땅의 면적을 계산하는 방법이 필요했고, 곡선으로 둘러쌓인 땅의 면적을 작은 사각형, 삼각형으로 나누어 합산하는 방법으로 그 문제를 해결하였다. 이후 기원전 3세기에 아르키메데스를 통해 면적을 구하는 적분 개념이 좀 더 구체화 하였다. 개념상으로만 본다면 적분은 미분보다 수천년을 앞서 있는 것이다.

 

이런 미적분 탄생 배경들을 알게 되면서 그 물리적인 의미가 궁금해졌고, 뉴턴과 라이프니츠처럼 미적분학에 접근하면 좀 더 쉽고 재미있게 이해하게 되지 않을까 생각하게 되었다. 학생들이 수학을 포기하게 되는 첫 고비는 중학교 시절에 이차 함수를 접하게 되면서이고, 그럭 저럭 이 난관(難關)을 넘어온 사람에게 오는 피할 수 없는 험난한 고비는 바로 이 미분과 적분이 아닐까 생각 한다. 많은 사람들이 이미 완성된 미분학의 체계를 마주하면서도 어려움을 겪었는데, 미적분의 아무런 체계를 갖추고 있지 시대의 뉴턴과 라이프니츠는 어떻게 미분을 발명하게 되었을까?

 

중ž고등학교에 들어가게 되면, 신속하게 수학식를 암기하고 어려운 계산을 푸는 것에 흡족해하고 더 많은 유형을 접하고 좀 더 많은 문제를 풀면서 좋은 점수를 맞기 위해 노력한다. 하지만, 정작 대학이나 직장에 들어갔을 때에는 책을 보면 나와 있는 유형의 문제가 펼쳐지는 것이 아니라, 아무런 유형도 알 수 없는 새로운 수학문제와 상황을 마주 대하게 된다. 즉, 빠르게 수식을 아는 것도 중요하지만, 결국은 정확한 정의와 그것이 탄생하게 되는 수학적, 물리적 의미를 파악하는 것이 핵심이 된다. 남들이 만들어 놓은 문제를 푸는 것도 재미있지만, 한번도 본적 없는 문제를 풀거나 그러한 새로운 문제를 만들 수 있는 사람은 되는 것도 좋지 않을까?

 

미적분은 뉴턴과 라이프니츠의 무한소와 달랑베르의 극한값 개념을 통해 지금과 같은 모습을 갖추게 되고, 현대 수학의 튼튼한 발판을 놓게 된다. 수학 이야기에 하나의 숫자 없는 이야기들이 수학을 이해하고 실제적으로 수학을 푸는 데에 도움이 될 것인지 의심할 수도 있으나, 역지사지로 사람은 자신이 흥미를 갖게 되고 재미를 발견한 일에는 밤을 새고 자신을 도전하는 것이 자연스러운 일이니 조금은 기대해 봐도 좋을 것 같다. 밑져야 본전! 나 뿐만 아니라 미적분을 접하는 모든 사람들이 즐겁게 이야기 할 수 있는 날을 그려보며, 다음 번에는 미적분학의 기본적인 개념들에 대해서 좀 더 알아보기로 하겠다. 미적분학 오딧세이, 출발~!

 

2013. 10. 03